निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से? - nimn raikhik sameekaranon ke yugmon mein se kaun se?

प्रश्न संख्या: (4) निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन युग्म संगत/असंगत हैं, यदि संगत हैं तो ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए।

(i) x + y = 5,

2x + 2y = 10

हल:

दिया गया है, x + y = 5

⇒ x + y –  5 = 0 -----(i)

2x + 2y = 10

⇒ 2x + 2y – 10 = 0 -----(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 तथा समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 1, b1 = 1, c1 = – 5 तथा

a2 = 2, b2 = 2, c2 = – 10

अब,

a1/a2 = 1/2

b1/b2 = 1/2

तथा, c1/c2 = – 5/– 10 = 1/2

यहाँ चूँकि, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म के ज्यामितीय निरूपण पर ग्राफ एक संपाती रेखा होगी तथा समीकरणों का अनगिनत कई हल होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म आश्रित (संगत) हैं।

अब समीकरण (i) से

x = y – 5

हल का टेबल

तथा समीकरण (ii) से

x = 10 – 2y/2

हल का टेबल

दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफीय निरूपण

अत: दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म के अनगिनत हल हैं, जिनमें से कुछ (x = 2, y = 3 ), (x = 3, y = 2), (x = 4, y = 1) आदि हैं। उत्तर

(ii) x – y = 8;

3x – 3y = 16

हल:

दिया गया है, x – y = 8

⇒ x –  y –  8 = 0 -----(i)

तथा, 3x – 3y = 16

⇒ 3x –  3y –  16 = 0 -----(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 तथा समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 की तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 1, b1 = – 1, c1 = – 8

तथा, a2 = 3, b2 = – 3, c2 = – 16

अब,

a1/a2 = 1/3

b1/b2 = – 1/– 3 = 1/3

c1/c2 = – 8/– 16 = 1/2

यहाँ चूँकि, a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

अत: दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफ एक समांतर रेखा होगी तथा समीकरणों का कोई हल नहीं होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत हैं। उत्तर

(iii) 2x + y – 6 = 0;

4x – 2y – 4 = 0

हल:

दिया गया है, 2x + y – 6 = 0 -----(i)

4x – 2y – 4 = 0 -----(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 2, b1 = 1, c1 = – 6

तथा, a2 = 4, b2 = – 2, c2 = – 4

अत:,

a1/a2 = 2/4 = 1/2

b1/b2 = 1/– 2

c1/c2 = – 6/– 4 = 3/2

यहाँ चूँकि, a1/a2 ≠ b1/b2

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण करने पर रेखा एक दूसरे को एक बिन्दु पर काटेगी अत: समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरण युग्म संगत (Consistent) है।

अब समीकरण (i) से

2x + y = 6

⇒ x = 6 – y/2

समीकरण के संभावित हल का टेबल

तथा समीकरण (ii) से

4x – 2y = 4

⇒ x = 4 + 2y/2

समीकरण के संभावित हल का टेबल

दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफीय निरूपण

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का हल है (2, 2) अर्थात x = 2 तथा y = 2 उत्तर

(iv) 2x – 2y – 2 = 0;

4x – 4y – 5 = 0

हल:

दिया गया है, 2x – 2y – 2 = 0 -------(i)

4x – 4y – 5 = 0 --------(ii)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 2, b1 = – 2, c1 = – 2

तथा, a2 = 4, b2 = – 4, c2 = – 5

अत:,

a1/a2 = 2/4 = 1/2

b1/b2 = – 2/– 4 = 1/2

तथा, c1/c2 = – 2/– 5 = 2/5

यहाँ चूँकि, a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

अत: दिये गये रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफ एक समांतर रेखा होगी तथा समीकरणों का कोई हल नहीं होगा।

अत: दिया गया रैखिक समीकरणों के युग्म असंगत हैं। उत्तर

प्रश्न संख्या: (5) एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्धपरिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लिया कि बाग की चौड़ाई = x m

तथा बाग की लम्बाई = y m

अत: प्रश्न के अनुसार

x + 4 = y

⇒ x – y + 4 = 0 -----(i)

⇒ y – x = 4 -----(ii)

तथा, x + y = 36 -----(iii)

⇒ x + y – 36 = 0 ------(iv)

समीकरण (i) को व्यापक रैखिक समीकरण a1x + b1y + c1 = 0 तथा समीकरण (ii) को व्यापक रैखिक समीकरण a2x + b2y + c2 = 0 तुलना कर हम पाते हैं कि

a1 = 1, b1 = – 1, c1 = 4

तथा, a2 = 1, b2 = 1, c1 = – 36

यहाँ,

a1/a2 = 1/1

b1/b2 = – 1/1 = – 1

यहाँ चूँकि, a1/a2 ≠ b1/b2,

अत: दिये गये रैखिक समीकरण युग्म का ज्यामितीय निरूपण करने पर रेखा एक दूसरे को एक बिन्दु पर काटेगी अत: समीकरणों का एक अद्वितीय हल होगा।

समीकरण (i) y – x = 4 लिए

तथा समीकरण (ii) x + y = 36 के लिए

चूँकि दी गई स्थिति में प्राप्त रैखिक समीकरणों के युग्म के ग्राफ की रेखाएँ एक बिन्दु (16, 20) पर प्रतिच्छेद करती हैं

अत: बाग की चौड़ाई = 16 m तथा लम्बाई = 20 m. उत्तर

प्रश्न संख्या: (6) एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में से एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।

(ii) समांतर रेखाएँ हों।

(iii) संपाती रेखाएँ हों।

हल:

दिया गया रैखिक समीकरण है 2x + 3y – 8 = 0

(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।

रैखिक समीकरणों के युग्म का ग्राफ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद तब करती है, जब

a1/a2 ≠ b1/b2

यहाँ दिया गया एक रैखिक समीकरण है, 2x + 3y – 8 = 0

अत:, a1 = 2, b1 = 3

अत:, a1/a2 = 2/2 = 1

तथा, b1/b2 = 3/4

[यहाँ b2 = 4 मान लिया गया है ताकि a1/a2 ≠ b1/b2 हो सके]

यहाँ चूँकि, a1/a2 ≠ b1/b2

अत: समीकरण के युग्म का दूसर एक संभावित समीकरण होगा

2x + 4 y –  8 = 0 उत्तर

(ii) समांतर रेखाएँ हों।

एक रैखिक समीकरणों के युग्म के ग्राफ की रेखाएँ समांतर तभी होती हैं, जब

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2

समीकरण युग्म में से एक दिया गया समीकरण है, 2x + 3y – 8 = 0

यहाँ, a1 = 2, b1 = 3, c1 = – 8

अत: a1/a2 = 2/2 = 1

तथा, b1/b2 = 3/3 = 1

तथा, c1/c2 = – 8/– 12

अत:, a2 = 2, b2 = 3 and c3 = – 12

अत: रैखिक समीकरणों के युग्म का दूसरा संभावित समीकरण हो सकता है

2x + 3y –  12 = 0 उत्तर

(iii) संपाती रेखाएँ हों।

एक रैखिक समीकरणों के युग्म के ग्राफ की रेखाएँ तभी संपाती (Coincident) होती हैं जब

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2

यहाँ दिया गया एक रैखिक समीकरण है 2x + 3y – 8 = 0

अत:, a1/a2 = 2/4 = 1/2

अत: b1/b2 = 3/6 = 1/2

तथा, c1/c2 = – 8/– 16 = 1/2

अत: दिये गये रैखिक समीकरण का दूसरा संभावित युग्म है

4x + 6y – 16 = 0 उत्तर

प्रश्न संख्या: (7) समीकरणों x – y + 1 = 0 तथा 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x – अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।

निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत असंगत हैं यदि संगत हैं तो ग्राफीय?

रैखिक समीकरण युग्म जिसका हाल होता है क्या कहलाता है?

असंगत समीकरण के कितने हल होते हैं?