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घातांक की परिभाषायदि n एक घन पूर्णांक तथा a कोई वास्तविक संख्या हो, तो an = a × a × a × a × a × ……….× a (n बार) an को a का n वा घात कहाँ जाता हैं वास्तविक संख्या a को आधार तथा n को a के n वें घात का घातांक कहाँ जाता हैं। घातांक के नियम
a° = am – am = am/am = 1 (जिस संख्या की घात शून्य हो उसका मान 1 होता हैं।) 1/a⁻ⁿ = aⁿ जैसे :- (1⁄4)⁻² = 4² घातांक वाली संख्या को ऊपर या नीचे बदलने पर उसकी घात के चिन्ह (-, +) बदल जाते हैं। (a/b)n = an/bn am + an + ak = a⁽m ⁺ n ⁺ k⁾ जैसे:- 2¹ × 2² × 2³ करणी की परिभाषाजिस संख्या का मूल पूर्णतः ज्ञात नहीं किया जा सकता ऐसी संख्या के मूल को करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या (Irrational Quantity) कहाँ जाता हैं। जैसे:- √2, √3, ∛4 आदि करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या हैं। करणी के नियम
करणी के प्रकार (Types of Surds)1. शुद्ध करणी (Pure Surds) :- ऐसी करणी जिसका परिमेय गुणनखण्ड 1 हो, शुद्ध करणी कहलाती हैं। 2. मिश्र करणी (Mixed Surds) :- ऐसी करणी जिसका एक गुणनखण्ड 1 के अतिरिक्त कोई अन्य परिमेय संख्या हो, मिश्र करणी कहलाती हैं। 3. समरूप अथवा सजातीय करणी (Similar or Like Surds) :- जिन करणियों के अपरिमेय गुणनखण्ड समान होते हैं, समरूप या सजातीय करणियाँ कहलाती हैं। 4. संयुग्मी करणी (Conjugate Surds) :- द्विपद वाली ऐसी दो करणियाँ जिनके दोनों पद समान हो, परन्तु दोनों करणियों में दोनों पदों के बीच केवल ‘+’ और ‘-’ चिन्ह का अन्तर हो, संयुग्मी करणी कहलाती हैं। जैसे:- (4 + √5) की संयुग्मी करणी (4 – √5) होगी। करणी का जोड़, घटाव, गुणनफल तथा भाजनकरणियों का जोड़ना, घटाना, गुणा तथा भाग केवल समान घात (समरूप) वाली करणियों द्वारा किया जाता है यदि करणियाँ समान घात में न हो, तो सबसे पहले उन्हें समान घात में बनाया जाता है, फिर उनका जोड़, घटाव, गुणन या भाजन किया जाता हैं। उदाहरण :- 1. समान करणियों का जोड़ √5 + 2√5 + 4√5 2. समान करणियों का घटाव 9√7 – 4√7 3. समान करणियों का गुणन 4√3 × 2√3 4. समान करणियों का भाजन 8√3 ÷ 4√3 घातांक एवं करणी से संबंधित प्रश्न उत्तरQ.1 (1296)⁰⋅⁷⁵ × (36)⁻¹ का मान हैं? हल:-
प्रश्ननानुसार, Q.2 (2.4 + 10³) ÷ (8 × 10⁻²) = ? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.3 4√(625)³ का मान निकालिए हल:-
प्रश्ननानुसार, Q.4 (√8)⅓ हल:- प्रश्ननानुसार, Q.5 (32)⁻¹⁄₅ बराबर हैं? हल:- (32)⁻⅕ Q.6 (⁻¹⁄₂₅)⁻²⁄₃ का मान होगा? हल:-
प्रश्ननानुसार, Q.7 ∛(64)⁻⁴ × (125)⁻² का मान होगा? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.8 व्यंजक [(√5)⁵ × (√5)⁻³ / (√5)⁻²]³⁄₂ का मान हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.9 2⁻² + (-2)² बराबर हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.10 (8)⁻²⁵ – (8)⁻²⁶ का मान हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.11 (64)⁻¼ × (16)¼ का मान
हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.12 a⁻⁵ × a⁻⁴ × a⁻³ × a⁻² × a⁵ × a⁶ × a⁷ बराबर हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.13 2^x × 4^(3x+4) बराबर हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.14 यदि (2^m)^m = 512, तो m बराबर हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.15 माना m तथा n दो पूर्ण संख्याएँ हैं यदि mn = 25 हैं, तो nm का मान हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.16 यदि 2x × 8^⅕ =
2^⅕ हो, तो x का मान क्या हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.17 यदि 4^2x = 256 हो तो x = ? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.18 यदि 125^x = 3125 हो तो x का मान हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.19 यदि √2ⁿ = 64 हो तो n का मान हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.20 √2, ∛3 तथा ∜4 में से सबसे बड़ी संख्या कौन सी हैं? हल:- प्रश्ननानुसार, Q21. [(625)6.25 × (25)2.6 ] / [(625)6.75 × (5)1.2] = ? हल:- प्रश्ननानुसार, Q.22 यदि x³⁄₂ – xy½ + x½y – y³⁄₂ को (x½ – y½) से विभाजित किया जाए तो भागफल होगा? x³⁄₂ – xy½ + x½y – y³⁄₂ जरूर पढ़िए :
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