क्या 7 अंडर रूट 3 एक अपरिमेय संख्या है? - kya 7 andar root 3 ek aparimey sankhya hai?

Solution : यदि सम्भव हो तो माना `7 sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या नहीं है । अर्थात `7 sqrt(5)` एक परिमेय संख्या है ।
तब परिमेय संख्या की परिभाषा से, `7 sqrt(5) = (p)/(q)" "...(1)`
यहाँ पूर्णांक p व q इस प्रकार हैं की उनमे 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है ।
तब समीकरण (1) से, `sqrt(5) = (p)/(7q)" "...(2)`
`because` p व q पूर्णांक हैं इसलिए p व 7q भी पूर्णांक है । `rArr (p)/(7q)` एक परिमेय संख्या है । अर्थात समीकरण (2) का दायाँ पक्ष परिमेय संख्या है इसलिए बायाँ पक्ष अर्थात `sqrt(5)` भी परिमेय संख्या है ।
`rArr` हमारी कल्पना गलत है । अत: `7 sqrt(5)` एक अपरिमेय संख्या है

Solution : माना यदि सम्भव है तो़ `(2+sqrt(3))` परिमेय है।
तब `2+sqrt(3)=a/b` माना
जहां a और b पूर्णांक है और `b!=0`
`impliessqrt(3)=a/b-2impliessqrt(3)=(a-2b)/b`………………..1
`:’` a और b पूर्णांक है।
`:.a-2b` भी एक पूर्णांक है।
`implies(a-2b)/b` परिमेय है।
अब समीकरण 1 का बायां पक्ष एक अभाज्य संख्या का वर्गमूल है, अतः यह अपरिमेय है तथा दायां पक्ष परिमेय है। जो एक विरोधाभास है क्योंकि एक परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या कभी भी बराबर नहीं हो सकते। अतः हमारी कल्पना कि `2+sqrt(3)` परिमेय है गलत है।
`:.(2+sqrt(3))` एक अपरिमेय संख्या है।

Solution : आइए हम इसके विपरीत यह मान लेते है कि `sqrt(3)` एक परिमेय संख्या है, तो इस प्रकार के दो सह-अभाज्य पूर्णांक a और b विद्यमान होंगे कि
`sqrt(3)=(a)/(b)`
`rArr 3=(a^(2))/(b^(2))`
`rArr 3b^(2)=a^(2)`
`rArr 3।a^(2) " " [because 3।3b^(2)]`
`rArr 3।a " " `...(i)
`rArr a=3c` जहाँ c एक पूर्णांक है।
`rArr a^(2)=9c^(2)`
`rArr 3b^(2)=9c^(2) " " [because a^(2)=3b^(2)]`
`rArr b^(2)=3c^t(2)`
`rArr 3।b^(2) " " [because 3।3c^(2)]`
`rArr 3।b " " `... (ii)
समीकरण (i ) तथा (ii ) से हम कह सकते है कि a और b का कम से कम एक गुणनखंड 3 है । परन्तु यह इस तथ्य का विरोधाभास करता है कि a और b सह-अभाज्य है। इसका अर्थ यह है कि हमारी परिकल्पना सही नहीं है।
अतः `sqrt(3)` एक अपरिमेय संख्या है।

Solution : इसके विपरीत हम यह मान ले कि `sqrt3` एक परिमेय संख्या है।
हम ऐसे दो पूर्णांक a और `b(n ne 0)` प्राप्त कर सकते हैं कि `sqrt3=(a)/(b)` है।
यदि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हो, तब उस उभयनिष्ठ गुणनखण्ड से भाग देकर a और b को सह अभाज्य बना सकते है।
`"अतः "bsqrt3=a` है ।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर `3b^(2)=a^(2)` प्राप्त होता है।
अतः `a^(2),3` से विभाजित है, तब 3, a को भी विभाजित करेगा।
अतः हम `a=3c` लिख सकते है, जहाँ c एक पूर्णांक है।
a के इस मान को `3b^(2)=a^(2)` में प्रतिस्थापित करने पर
`3b^(2)=9c^(2)" या "b^(2)=3c^(2)`
इसका अर्थ है कि `b^(2),3 `से विभाजित हो जाता है। इसलिए b भी उसे विभाजित होगा ।
अतः a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 3 है। परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास होता है कि a और b सह अभाज्य है।
इसलिए यह विरोधाभास हमारी कल्पना की कमी के कारण है कि `sqrt3` एक परिमेय संख्या है ।
अतः`sqrt3` एक अपरिमेय संख्या है।

क्या रूट 3 एक अपरिमेय संख्या है?

क्या रूट 7 परिमेय है?

रूट 7 कौन सी संख्या है?

क्या रूट एक अपरिमेय संख्या है?